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\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{remarque}{Remarque}

\newtheorem{exem}{Exemples}


\begin{}
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\textsc{UFR Math\'ematiques}  \hfill \textsc{Universit\'e Rennes 1} \\
Master Math\'ematiques / FHFS \hfill 2020/2021 \\

\medskip

{\bf \large Equations diff\'erentielles 1}

\medskip
\end{center}

\bigskip

\bigskip
\noindent{\bf Exercice }[Equations d'Euler]\\
Soient $c_1$ et $c_2$ deux nombres complexes. Donner une base de solutions de l'\'equation suivante :
$$
z^2\frac{d^2 u}{dz^2} + c_1z\frac{du}{dz} +c_2 u = 0
$$
\medskip
{\color{blue}

Vous pouvez chercher les solutions sous la forme $z^\alpha$ et s'il en manque une $z^\alpha \log z$. \\

Pour comprendre cet m\'ethode, je vous propose une correction (plus difficile) utilisant les polynomes d'endomorphismes.  Notre \'equation se r\'e\'ecrit $ (z\frac{d}{dz})(z\frac{d}{dz}) u + (c_1-1) (z\frac{d}{dz})u + u =0$.

Commen\c{c}ons par remarquer que  cette \'equation a deux singularit\'es dans $\hat{ \mathbf C}$. L'une en $z=0$ (du moins tant que $c_1, c_2$ sont non nuls) et l'autre en $\infty$. Nous resolverons donc l'equation sur un domaine simplement connexe $U \subset \mathbf C^\ast$ afin de pouvoir utiliser le $\log$ (et donc les puissancesnon enti\`eres). 
 On  v\'erifie que c'est $z^\alpha$ est un vecteur propre de $z\frac{d}{dz}$ de valeurs propre $\alpha$ : $z\frac{d}{dz} (z^\alpha) = \alpha (z^\alpha)$.

Notre \'equation s'\'ecrie $P(z\frac{d}{dz})(u) = 0$ avec $P(X) = X^2 +(c_1-1)X + c_2$ ainsi en restriction \`a l'espace vectoriel de dimension 2 des solutions, $P$ est un polynome annulateur de $z\frac{d}{dz}$. Si les deux racines $\alpha_1$ et $\alpha_2$ de $P$ sont des valeurs propres distinctes alors $z\frac{d}{dz}$ est diagonalisable : on a une base de solutions $z^{\alpha_1}, z^{\alpha_2}$. 

Si $z\frac{d}{dz}$ n'est pas diagonalisable alors nous savons qu'il existe un vecteur propre (donc une solution de l'\'equation de la forme $z^\alpha$) qu'on peut compl\'eter en une base de telle sorte que la matrice de $z\frac{d}{dz}$ dans cette base soit un bloc de Jordan de diagonal $\alpha$ : puis que $z\frac{d}{dz}(\ln z) = 1$ et  $z\frac{d}{dz}(z^\alpha \ln z)  = z\frac{d}{dz}(z^\alpha) \ln z +  z^\alpha z\frac{d}{dz}(\ln z) $, $z^\alpha \ln z$ est le second vecteur de la base.

\begin{remarque}


Je profite de cet exemple pour vous monter comment effectuer le changement de variable $w = \frac{1}{z}$. Nous avons alors $\frac{d}{dz} = - w^2\frac{d}{dw}$, ceci signifie que pour si $\tilde u(w) = u(1/w)$ alors $\frac{du}{dz}(1/w) = -w^2 \frac{d \tilde u}{dw}(w)$ (j'oublierai volontier le tilde). Ainsi notre \'equation dans la nouvelle coordonn\'ee est 
$$
(1/w)^2 (-w^2\frac{d}{dw})(-w^2\frac{d}{dw}) u +  c_1(1/w) (-w^2\frac{d}{dw})u +c_2 u =0
$$
c'est-\`a-dire
$$
w^2\frac{d^2 u}{dw^2} - (c_1  -2 )w\frac{d}{dw})u +c_2 u =0.
$$
Cette \'equation est bien singuli\`ere en $w=0$ ({\it i.e.} $z=\infty$) du moins tant que $c_1\not = 2$ ou $c_2\not = 0$.

\end{remarque}
}
\bigskip
  
\noindent {\bf Exercice }[Seconde solution]\\
Si $u_1$ est une solution (non nulle) de 
$$
\frac{d^2 u}{dz^2} + p\frac{du}{dz} +q u= 0
$$
et $\omega$ une solution (non nulle) de $\frac{dW}{dz} +p W=0$ alors 
$
u_2 = u_1 \int \frac{\omega}{u_1^2}dz
$
est une solution de notre \'equation, ind\'ependante de $u_1$.
\medskip

{\color{blue}

Si $u_1(z)$ est une solution, on cherche la seconde sous la forme $k(z)u_1(z)$ (variation de la constante). On injecte cette forme dans l'\'equation et on obtient
$$
k''(z) u_1 + 2 k'(z)u'_1(z)  + p(z)k'(z)u_1(z) =0
$$
Ceci se r\'eecrit $k''/k' = -2 u'_1/u_1 - p$ ce qui montre que $k'$ est le produit d'une solution de $f'/f = -2 u'_1/u_1$ et d'une solution de $g'/g = -p$.


}
  \bigskip
  
  \noindent{\bf Exercice}[Changement de variable, changement d'inconnue]\\
  Consid\'erons l'\'equation diff\'erentielle
  $$
\frac{d^2 u}{dz^2} + p\frac{du}{dz} +q u= 0
  $$
  Montrer que 
  \begin{enumerate}
  \item si $z = g(w)$ et $v = u\circ g$ alors
\quad\quad\quad\;
  $\displaystyle
  \frac{d^2 v}{dw^2} + (p\circ g g' -\frac{g''}{g'}) \frac{dv}{dw} +(q\circ g g'^2) v = 0
  $
  
  {\color{blue}
  On a $\frac{dw}{dz}\frac{d}{dw}v = \frac{d}{dz}u$ {\it i.e.} $g'(w)\frac{dv}{dw}(w)  = \frac{d u}{dz}(g(w))$ et de m\^eme  $(\frac{dw}{dz}\frac{d}{dw})(\frac{dw}{dz}\frac{d}{dw})v = \frac{d^2}{dz^2}u$.
  
  Nous composons l'\'equation avec $g$ puis on remplace les d\'eriv\'ees de $u$ \'evalu\'ees en $g$ par les d\'eriv\'ees de $v$ suivant les deux formules bleues ci-dessus. 
  }
  \item si $u= h v$ (produit), en notant $f = \frac{h'}{h}$, alors
\quad \quad   $\displaystyle
\frac{d^2 v}{dz^2} + (p + 2 f) \frac{dv}{dz} +(q+pf +f' +f^2) v= 0
  $

  {\color{blue}
  Apr\`es avoir corrig\'e les typos, il suffit de d\'eriver les fonctions compos\'ees.
  }
  \end{enumerate}
  \bigskip
  
  \noindent{\bf Exercice}[Diff\'erentes formes d'une \'equation d'ordre deux]\\
   Consid\'erons $u_1$ et $u_2$ une base de solution de l'\'equation diff\'erentielle
  $$
\frac{d^2 u}{dz^2} + p\frac{du}{dz} +q u= 0
  $$
  V\'erifiez que
  \begin{enumerate}
  \item $\frac{u_1'}{u_1}$ est solution d'une \'equation de Riccati. 
  \item $\tau =  \frac{u_2}{u_1}$ est solution d'une \'equation Schwarzienne : \quad 
$\displaystyle
  S( \tau) = - p' -\frac{1}{2}p^2 +2q . $
  
  \medskip
  
  {\color{blue} il n'y a que du calcul}
  
  \bigskip
  
  
  \end{enumerate}
  \noindent{\bf Exercice}[Lam\'e \& Weierstrass]\\
Soient $Q(z) = 4(z-e_1)(z-e_2)(z-e_3)$ un polynome de degr\'e $3$ ayant trois racines distinctes telles que $e_1+e_2+e_3 = 0$, $n \in \NN$ et $b\in \CC$.  Consid\'erons l'\'equation de Lam\'e
  $$
\frac{d^2 u}{dz^2} + \frac{1}{2}\frac{Q'}{Q} \frac{du}{dz} -\frac{n(n+1)z+b}{Q
}  u= 0
  $$
  \begin{enumerate}
  \item Donner, pour chaque singularit\'es (dans $\hat \CC$) de l'\'equation, son type et ses exposants. 
  
  \medskip
  {\color{blue}  Nous n'avons pas encore vu en cours les diff\'erents types de singularit\'es. Nous nous contenterons de d\'eterminer les singularit\'es. Les trois z\'eros de $Q$ sont des p\^oles des coefficients. ce sont donc trois singularit\'es. Reste \`a voir si $\infty$ est une singularité. Nous faisons le changement de variable $w =\frac{1}{z}$   :
  $$
  (w^4 \frac{d^2}{dw^2} +2 w^3\frac{d}{dw}) \tilde u(w) + \frac{1}{2}\frac{Q'}{Q}(1/w) (-w^2\frac{d}{dw}) \tilde u (w) + \frac{n(n+1) 1/w +b}{Q(1/w)}\tilde u = 0
  $$
    Par exemple $w^4Q(1/w) = w \prod (1-e_iw)$ a un z\'ero simple, le coefficient de $\tilde u$, une fois l'\'equation mise sous forme r\'esolue \`a un pole d'ordre 2, ou 1 si $n=0$.  $\infty$ est une singularit\'e }
  
  \item Effectuer le changement de variable $z = \wp(w)$. 
  
  {\color{blue}
  On nous propose un autre changement de variable. La fonction $\wp(w)$ est solution de   $ (\frac{d\wp}{dw})^2 = Q(\wp)$. Nous supposerons que ce $Q$ est associ\'e \`a une fonction de Weierstrass. C'est toujours le cas mais la preuve n'a pas \'et\'e vue en cours.
  
  A priori le changement de variable n'\'etant pas bijectif, nous allons \^etre confront\'e au choix d'une branche inverse $\wp^{-1}$ c'est-\`a-dire une zacine de $Q$. Pla\c{c}ons sur un domaine simplement connexe sur lequel $Q$ ne s'annulle pas de sorte qu'on puisse choisir une telle racine, on choisit telle que $\frac{d\wp}{dw} = \sqrt{Q(\wp)}$. 
  
  $$
  \sqrt{Q(z)}\frac{d}{dz} = \frac{}{} \frac{d}{dw}\quad  \text{  et   } \quad Q(z)\frac{d^2}{dz^2} + \frac{1}{2}\sqrt{Q} \frac{d}{dz} = \frac{d^2}{dw^2}
  $$
   et notre \'equation devient
   $$
   \frac{d^2 u}{dw^2} - (n(n+1)\wp(w)+b)u =0
   $$
  }
 
  \item Les singularit\'es de l'\'equation en la variable $z$ sont-elles images par $\wp$ des singularit\'es de l'\'equation en la variable $w$ ?
  
  {\color{blue} NON
  
  Notre nouvelle \'equation a des singularit\'es sur le r\'eseau des p\'eriodes de $\wp$.
  L'image des singularit\'es par $\wp$ est donc r\'eduit \`a $\infty$. il manque les 3 autres singularit\'es.
  
  Le changement de variable les a d\'esingularis\'e.
  }
  
  
   \item R\'esoudre l'\'equation de Lam\'e dans la cas $n=0$. 
   
   {\color{blue}
   Lorsque $n=0$ nous obtenons $
   \frac{d^2 u}{dw^2} - bu =0
   $ dont une base de solution est $e^{\pm \sqrt{b} w}$. Dans la variable initiale, une base de solutions est donc $$\exp(\pm \sqrt{b} \int \frac{dz}{\sqrt{Q(z)}}).$$
   
   }
  \end{enumerate}
  \noindent 
  
  \end{document}
  


